The Game Theory

W quantitative tradingu ekonometria i teoria gier odpowiadają na dwa różne, komplementarne pytania:Ekonometria: „Jakie prawidłowości/statystyki da się wiarygodnie wydobyć z danych i z jaką niepewnością?” → estymacja sygnałów (alpha), reżimów, korelacji, ryzyka, przewidywań (forecast), parametrów microstructure (np. impact).

Teoria gier: „Jak mój wynik zmieni się, gdy inni uczestnicy rynku zareagują na moją strategię?” → modelowanie strategicznej adaptacji rynku do Twojego działania (kontrstrategie, crowding, wyścig o kolejkę, selekcja negatywna).

A) Intuicja rynkowa (rynek jako gra) 🎲 Twoja egzekucja zmienia LOB → inni adaptują quote/latency → zmienia się rozkład fill/impact. To jest dokładnie „gra”.

2. Model rynku: siatka kroków i filtracja 2.1. Siatka kroków Niech Δ>0 będzie krokiem siatki, T∈N horyzontem. Zdefiniuj proces przyrostów:

Xt(ω)∈{+1,−1},t=1,…,T,

Pt(ω)=P0+Δi=1∑tXi(ω),t=0,1,…,T.

2.2. Przestrzeń ścieżek i filtracja Ω={U,D}T,ω=(ω1,…,ωT)∈Ω.

Niech Ft=σ(ω1,…,ωt) będzie naturalną filtracją. Historię do chwili t oznaczam:

ht=(ω1,…,ωt−1).

3. Konfiguracje decyzji i zbiór RCS 3.1. Konfiguracje A={B,S}T,a=(a1,…,aT)∈A,∣A∣=2T.

d(at)={+1,−1,at=B,at=S.

Definicja 3.1 (RCS) Zbiorem względnych konfiguracji jest dowolny S⊆A, interpretowany jako portfel konfiguracji uruchamianych równolegle. Szczególny przypadek stanowi pełny zbiór S=A.

4. Operatory wypłat i czasy zatrzymania 4.1. Zysk pojedynczej nogi Noga otwarta w kroku t (kierunek d(at)) i zamknięta w czasie τ≥t ma wypłatę (w jednostkach kroku):

G(ω,a,t;τ)=s=t∑τ−1d(at)Xs+1(ω).

4.2. Operator wypłaty Niech M będzie rodziną operatorów rozliczania. Operator m∈M przypisuje czas zamknięcia τm(ω,a,t) oraz wypłatę:

Φm(ω,a,t)=G(ω,a,t;τm(ω,a,t)).

Założenie 4.1 (warunki techniczne „journal-grade”) Dla każdego m∈M, a∈A, t∈{1,…,T}:

τBOSO(ω,a,t)=T.

τBXSO(ω,a,t)={inf{u∈{t+1,…,T}:Pu(ω)−Pt(ω)≥Δ}∧T,T,at=B,at=S.

τBOSX(ω,a,t)={T,inf{u∈{t+1,…,T}:Pu(ω)−Pt(ω)≥Δ}∧T,at=B,at=S.

5. Portfel RCS: wolumeny i switching operatorów 5.1. Wolumeny Niech v=(v1,…,vT), gdzie vt≥0 jest wolumenem przypisanym do kroku t.

5.2. Portfel przy stałym operatorze Πm(ω;S,v)=t=1∑Tvta∈S∑Φm(ω,a,t).

π: (t,ht)↦mt∈M.

π(t,ht) zależy wyłącznie od Ft−1. Portfel ze switchingiem:

Π(ω;S,v,π)=t=1∑Tvta∈S∑Φπ(t,ht)(ω,a,t).

6. Symetria i neutralizacja dla pełnej bazy konfiguracji Definicja 6.1 (inwolucja long/short) Zdefiniuj odwzorowanie ⋅ˉ:A→A przez zamianę B↔S w każdym kroku:

aˉt={S,B,at=B,at=S.

Wtedy aˉˉ=a oraz d(aˉt)=−d(at).

Lemat 6.1 (antysymetria wypłaty w BOSO) Dla operatora BOSO i dowolnych ω,a,t:

ΦBOSO(ω,aˉ,t)=−ΦBOSO(ω,a,t).

Dowód. W BOSO τ=T, a wypłata jest liniowa w d(at). Zamiana d↦−d zmienia znak. □

Propozycja 6.1 (neutralizacja ścieżkowa) Jeżeli S=A, to dla dowolnych vt≥0 i dowolnej ścieżki ω:

ΠBOSO(ω;A,v)≡0.

Lemat 7.1 (pivot jest czasem zatrzymania) Niech τpivot będzie pierwszym czasem t≥2, dla którego (ωt−1,ωt)∈{(U,D),(D,U)}. Wtedy τpivot jest czasem zatrzymania względem (Ft).

Dowód. Zdarzenie {τpivot≤t} zależy tylko od (ω1,…,ωt), więc należy do Ft. □

Remark 7.1 (lokalne „+1” w węźle pivotu) Dla ścieżki UD: P0→P0+Δ→P0. Noga otwarta na poziomie P0+Δ ma przy powrocie: short +1 krok, long −1 krok. Stąd w węźle pivotu występuje chwilowa asymetria MTM wśród konfiguracji.

κ: (t,ht)↦κt∈K

8. Reżim I: ujęcie pathwise/adversarial i gwarancje no-regret 8.1. Kod historii i pamięć n Dla n≥1 definiuję stan historii:

ht(n)(ω)=(Xt−n(ω),…,Xt−1(ω))∈{−1,+1}n,

dla t>n (dla t≤n przyjmuję konwencję uzupełnienia stanem początkowym).

Cn={B,S}n,∣Cn∣=2n.

Πn={π:{−1,+1}n→{B,S}},∣Πn∣=22n.

8.3. Mieszanie ekspertów i założenie ograniczonych strat Niech w kroku t ekspert i∈[N] ponosi stratę ℓt,i∈[0,1] (w praktyce osiąga się to przez skalowanie wypłat/bounded gains). Portfel (mieszanka) utrzymuje rozkład wag wt∈ΔN i ponosi stratę ⟨wt,ℓt⟩.

Twierdzenie 8.1 (Hedge/WM: gwarancja no-regret) Dla dowolnej sekwencji strat ℓt∈[0,1]N (w szczególności adversarial) algorytm Hedge/multiplicative weights spełnia:

t=1∑T⟨wt,ℓt⟩≤i∈[N]mint=1∑Tℓt,i+O(TlogN),

9.1. Model rynku bez tarcia Niech St będzie ceną aktywa ryzykownego (można przyjąć St=Pt), a konto bezpieczne:

Bt=(1+r)t,r≥0.

St=BtSt.

Definicja 9.1 (strategia i proces wartości) Strategia to proces (φt,ψt)t=0T−1, gdzie φt jest liczbą jednostek aktywa ryzykownego trzymaną na [t,t+1), a ψt liczbą jednostek konta bezpiecznego. Wartość portfela:

Vt=φtSt+ψtBt,Vt=BtVt=φtSt+ψt.

Vt+1−Vt=φt(St+1−St)+ψt(Bt+1−Bt),

Vt+1−Vt=φt(St+1−St).

EP[St+1∣Ft]=St.

Lemat 9.1 (brak driftu dla zysków przewidywalnych). Jeśli S jest martyngałem pod P oraz φt jest Ft-mierzalne i całkowalne, to:

EP[VT]=V0.

Uzasadnienie. Z samofinansowania VT=V0+∑t=0T−1φt(St+1−St), a każdy składnik ma warunkową wartość oczekiwaną 0. □

EP[VT]=V0.

W szczególności, dla V0=0 otrzymuje się EP[VT]=0.

EQ[VT]=V0.

W szczególności nie istnieje strategia o V0=0 taka, że VT≥0 P-p.n. oraz P(VT>0)>0 (brak arbitrażu) [9–12].

EP[ΔSt+1∣ht]≠0,

Twierdzenie 10.2 (asymetria wypłaty / premia mikrostrukturalna) Nawet przy EP[ΔSt+1∣Ft]=0, dodatni EV może pojawić się, jeśli wypłaty zawierają dodatni składnik oczekiwany (np. premia za dostarczanie płynności, spread capture, asymetria wykonania). Wtedy EV pochodzi z funkcji wypłaty, nie z driftu ceny.

Forced liquidation / margin wprowadza zewnętrzny czas zatrzymania τmargin, wzmacniając ogony strat.

Złożoność ∣A∣=2T wymusza redukcję rodziny konfiguracji lub parametryzację.

12. Experimental Design: Monte Carlo i metryki rozkładu 12.1. Cel Oszacować rozkład Π(ω;S,v,π) (lub VT) dla danych operatorów i polityk, rozdzielając:

12.3. Metryki Raportuję: EV, błąd standardowy i CI; win-rate Pr(Π>0), nonlose-rate Pr(Π≥0); kwantyle 1%,5%,50%,95%,99%; VaRα i CVaRα; min/max; porównania wariantów operatorów i switchingu (bootstrap/testy różnic).